Тип публикации: статья из журнала
Год издания: 2012
Ключевые слова: modified Korteweg-de Vries equation, step-like initial value problem, Riemann-Hilbert problem, steepest descent method, modulated hyper-elliptic wave
Аннотация: The modified Korteveg-de Vries equation on the line is considered. The initial function is a discontinuous and piece-wise constant step function, i.e. <i>q</i>(<i>x</i>, 0) = <i>c</i><i>r</i><i></i> for <i>x</i> ≥ 0 and <i>q</i>(<i>x</i>, 0) = <i>c</i><i>l</i><i></i> for <i>x</i> < 0, where <i>c</i><i>l</i><i></i>, <i>c</i><i>r</i><i></i> are real numbers which satisfy <i>c</i><i>l</i><i></i> > <i>c</i><i>r</i><i></i> > 0. The goal of this paper is to study the asymptotic behavior of the solution of the initial-value problem as <i>t</i> → ∞. Using the steepest descent method we deform the original oscillatory matrix Riemann-Hilbert problem to explicitly solvable model forms and show that the solution of the initial-value problem has different asymptotic behavior in different regions of the <i>xt</i> plane. In the regions <i>x</i> < -6<i>c</i><i>l</i><i></i>2 <i>t</i> + 12<i>c</i><i>r</i><i></i>2 and <i>x</i> > 4<i>c</i><i>l</i><i></i>2 <i>t</i> + 2<i>c</i><i>r</i><i></i>2 <i>t</i> the main term of asymptotics of the solution is equal to <i>c</i><i>l</i><i></i> and <i>c</i><i>r</i><i></i>, respectively. In the region (-6<i>c</i><i>l</i><i></i>2 + 12<i>c</i><i>r</i><i></i>2 )<i>t</i> < <i>x</i> < (4<i>c</i><i>l</i><i></i>2 + 2<i>c</i><i>r</i><i></i>2 )<i>t</i> the asymptotics of the solution takes the form of a modulated hyper-elliptic wave generated by an algebraic curve of genus 2.
Журнал: Журнал математической физики, анализа, геометрии
Выпуск журнала: Т. 8, № 1
Номера страниц: 38-62
ISSN журнала: 18129471
Место издания: Харьков
Издатель: Физико-технический институт низких температур им. Б.И. Веркина Национальной АН Украины