Перевод названия: Bernoulli Polynomials in Several Variables and Summation of Monomials over Lattice Points of a Rational Parallelotope
Тип публикации: статья из журнала
Год издания: 2016
Ключевые слова: числа и многочлены Бернулли, производящие функции, суммирование функций, рациональный параллелотоп, Bernoulli numbers and polynomials, generating functions, summation of functions, rational parallelotope
Аннотация: Многочлены Бернулли для натурального x впервые рассматривал Я. Бернулли (1713) в связи с задачей суммирования степеней последовательных натуральных чисел. Для произвольного x эти многочлены изучал Эйлер. А термин "многочлены Бернулли" был введен Раабе (J. L. Raabe, 1851). Числа и многочлены Бернулли хорошо изучены, нашли широкое прПоказать полностьюименение в различных областях теоретической и прикладной математики. Работа посвящена некоторым обобщениям чисел и многочленов Бернулли на случай нескольких переменных. Вводится понятие чисел Бернулли, ассоциированных с рациональным конусом, который порожден векторами с целочисленными координатами. Используя числа Бернулли, определяются многочлены Бернулли нескольких переменных. Далее строится разностный оператор, действующий на функциях, определенных в рациональном конусе, и методами теории производящих функций доказывается многомерный аналог основного свойства, состоящего в том, что многочлены Бернулли удовлетворяют разностному уравнению. Кроме того, вычислены значения интегралов от многочлена Бернулли по сдвигам фундаментального параллелотопа, и для суммы значений мономов в целых точках рационального параллелотопа найден многомерный аналог формулы Бернулли, в которой сумма выражается через интеграл от многочлена Бернулли по параллелотопу с «переменной» вершиной. The Bernoulli polynomials for natural x were ?rst considered by J.Bernoulli (1713) in connection with the problem of summation of the powers of consecutive positive integers. For arbitrary x these polynomials were studied by L. Euler. The term ”Bernoulli polynomials” was introduced by Raabe (J. L. Raabe, 1851). The Bernoulli numbers and polynomials are well studied, and are widely used in various ?elds of theoretical and applied mathematics. The article is devoted to some generalizations of the Bernoulli numbers and polynomials to the case of several variables. The concept of Bernoulli numbers associated to a rational cone generated by vectors with integer coordinates is de?ned. Using the Bernoulli numbers, we introduce the Bernoulli polynomials of several variables. Next we construct a di?erence operator acting on functions de?ned in a rational cone, and by methods of the theory of generating functions we prove a multidimensional analogue of the main property, which is the fact that the Bernoulli polynomials satisfy a di?erence equation.Also, we calculate the values of the integrals of the Bernoulli polynomials over shifts of the fundamental parallelotope, and for the sum of monomials over integer points of a rational parallelotope we ?nd a multidimensional analogue of the Bernoulli formula, where the sum above is expressed in terms of the integral of the Bernoulli polynomial over a parallelotope with variable ”top” vertex.
Журнал: Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика
Выпуск журнала: Т. 16
Номера страниц: 89-101
ISSN журнала: 19977670
Место издания: Иркутск
Издатель: федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Иркутский государственный университет"