Год издания: 2025
Ключевые слова: многомерные разностные уравнения, цифровые рекурсивные фильтры, рекуррентные соотношения, задача Коши, Разностные уравнения с переменными коэффициентами, Алгоритмы вычисления решений, Перечислительный комбинаторный анализ, Функции векторного разбиения
Аннотация: Цифровые рекурсивные фильтры играют ключевую роль в современных системах обработки сигналов и данных. Эти фильтры используются в таких областях, как компьютерная томография, спутниковый мониторинг и обработка изображений. Важнейшими задачами являются подавление шума, оценка параметров и выделение ключевых признаков сигналов [DudgeoПоказать полностьюn, Mersereau, 1984; Oppenheim, Schafer, 2009]. Однако многомерные фильтры представляют собой сложную математическую проблему, требующую мощных вычислительных ресурсов и новых методов для повышения их стабильности и эффективности. Решение этих задач возможно через развитие теории разностных уравнений, которая лежит в основе всех рекурсивных фильтров [Lax, Richtmyer, 1956]. Разностные уравнения лежат в основе математического моделирования природных и технических процессов. Их применение охватывает такие важные области, как термодинамика [Самарский, 1971], анизотропная диффузия [Murray, 2003], математическая биология [Murray, 2003; Братусь и др., 2010]. Однако классические методы решения дифференциальных уравнений, такие как Рунге-Кутта или метод Эйлера, сталкиваются с серьёзными трудностями в многомерных задачах. Это делает необходимым развитие универсальных подходов на основе разностных схем [Isaacs, 1941]. Научная новизна проекта заключается в разработке методов для решения многомерных разностных уравнений с полиномиальными операторами и переменными коэффициентами. Использование метода производящих функций откроет новые возможности для анализа сложных систем, где классические методы не работают из-за проблем с сходимостью. Этот проект станет важным вкладом в развитие теории разностных уравнений, а его результаты будут применимы не только в цифровой обработке сигналов, но и в других областях науки и техники. Развитие теории разностных уравнений и производящих функций - теоретического фундамента, лежащего в основе теории передачи сигналов, станет значимым вкладом в развитие технологий современных систем связи и обеспечения их безопасности на территории Красноярского края.