Тип публикации: отчёт о НИР
Год издания: 2022
Ключевые слова: ионосфера, атмосфера, электрическое поле, электрический ток, тензорная проводимость, математическая модель, задача электропроводности, глобальная электрическая цепь
Аннотация: Первый год работы по Проекту, в основном, был посвящен созданию математического аппарата, необходимого для расчета электрических полей в D-слое ионосферы. ?Создан комплекс программ на языке Фортран, предназначенный для численного решения задачи электропроводности в трехмерном проводнике с гиротропным тензором проводимости. Для гироПоказать полностьютропной среды операторы эллиптических краевых задач электропроводности, традиционно формулируемых для электрического потенциала, несимметричны, что затрудняет численное решение таких задач. Поэтому в созданном комплексе программ используется формулировка краевой задачи с симметричным положительно определенным оператором, которая была ранее предложена авторами Проекта взамен традиционной задачи для уравнения электропроводности для электрического потенциала. Новыми неизвестными функциями является пара специальных потенциалов, скалярного и векторного, которые в частных случаях совпадают с электрическим потенциалом и функцией тока. Для новой задачи справедлив принцип минимума квадратичного функционала энергии, аналогичный принципу Дирихле для уравнения Пуассона. Введенная энергетическая норма эквивалентна сумме энергетических норм четырех новых неизвестных функций как элементов пространств, используемых для основных краевых задач для уравнения Пуассона. Это позволило использовать классические теоремы аппроксимации решений кусочно-линейными функциями и создать простой вариационно-разностный метод, то есть свести задачу к системе линейных алгебраических уравнений для узловых значений аппроксимирующих функций. Матрица этой системы симметрична и положительно определена. Выведены формулы, необходимые для построения коэффициентов этой матрицы, начиная с геометрических построений в сеточных тетраэдрах. Предложена дискретная модель, позволяющая интерпретировать одно из уравнений вариационно-разностной схемы как закон сохранения заряда, проинтегрированный по ячейкам сетки. Кроме того, она позволила придать невязке системы уравнений, остающейся после проведения итераций, смысл ошибочно перераспределенного между узлами сетки тока. Сравнение этого тока с полным током, фигурирующим в задаче, позволяет наглядно судить о точности решения. Ввиду изменения значения компонент тензора проводимости на шесть порядков в D-слое ионосферы, во всех подпрограммах используются числа двойной точности. Важным параметром матрицы системы линейных алгебраических уравнений является ее число обусловленности. Нами доказано, что для решаемой задачи число обусловленности матрицы отличается от числа обусловленности аналогичных матриц, возникающих при решении первой и второй краевых задач для уравнения Пуассона, множителем, приблизительно равным параметру неоднородности, который для D-слоя ионосферы порядка миллиона. Введенный нами параметр неоднородности при решении задач со скалярной проводимостью есть отношение максимального и минимального значений проводимости. При тензорной проводимости он имеет более сложный смысл. ?Создана теоретическая основа вариационно-разностного метода, являющегося эффективным вариантом метода конечных элементов, с кусочно-линейными функциями, независимо аппроксимирующими каждую из четырех неизвестных функций трех декартовых координат.?Метод реализован в виде набора подпрограмм на языке Фортран. Эти подпрограммы: осуществляют построение расчетной сетки в трехмерной области, соответствующей D-слою ионосферы; используя пространственные распределения ионосферных параметров, вычисляют компоненты тензора проводимости в каждом сеточном тетраэдре; вычисляют коэффициенты и правые части системы линейных алгебраических уравнений; осуществляют многосеточные итерации для решения этой системы; осуществляют переход от вспомогательных потенциалов, получающихся в результате решения задачи в новой формулировке, к электрическому потенциалу; выводят результаты расчетов в виде графиков и карт, характеризующих электрические поля и токи.?Проведены тестовые расчеты для анализа сходимости численных решений к точным при мельчении сетки. Для задач с проводимостями и источниками тока, заданными в виде гладких функций, получилась квадратичная сходимость, соответствующая теоретическим оценкам, то есть разность между численным и точным решением убывает примерно вчетверо при мельчении сетки вдвое по всем трем направлениям. Эта процедура возможна только для задач с известным точным решением, а для более сложных задач анализ сходимости выполнен путем сравнения разностей между приближенными решениями, полученными на разных сетках.?Тестовые расчеты также показали, что многосеточные итерации на порядок экономичнее таких итерационных методов, как метод Зейделя и метод последовательной верхней релаксации. Выполнен выбор оптимальных итерационных параметров.?В рамках метода декомпозиции области созданный программный комплекс, решающий задачу в D-слое ионосферы, стыкован с ранее созданными программами для атмосферы и лежащей выше D-слоя части ионосферы.?Параллельно моделировались некоторые электрические явления в атмосфере и ионосфере, в частности, один из механизмов формирования ионосферного электрического поля. Эти результаты были представлены в докладе Денисенко В.В., Райкрофт М.Дж. «Сезонная зависимость глобального ионосферного электрического поля, создаваемого грозами» на Шестой Международной конференции "Триггерные эффекты в геосистемах", 21-24 июня 2022, Москва.?Созданный вариационно-разностный метод был представлен в докладе Денисенко В.В., Нестеров С.А. «Многосеточный метод решения трехмерных эллиптических краевых задач электропроводности в гиротропных средах» на Международной конференции «Марчуковские научные чтения-2022», 3-7 октября 2022 г., Новосибирск, и изложен в статье Денисенко В.В. «Вариационно-разностный метод решения трехмерных задач электропроводности в гиротропных средах», принятой к публикации.?Таким образом, запланированные на 2022 год результаты получены, статья, как и предусмотрено планом, направлена и принята к публикации.