Тип публикации: отчёт о НИР
Год издания: 2022
Ключевые слова: аналитическое множество, амеба, веер Бергмана, k-выпуклость, голоморфное продолжение, вычет, интегральные представления, формулы Грина, некорректные задачи
Аннотация: Разработаны новые гомологические и аналитические методы вычислений кратных интегралов таких, как преобразования Меллина и вычеты Гротендика. Полученные результаты были применены к построению многомерных интерполяций, исследованию систем трансцендентных, дифференциальных и разностных уравнений.?Получены новые формулы для преобразоваПоказать полностьюний Меллина рациональных функций многих переменных дополняющие формулу Нильсон-Пассаре. Построены явные формулы для многомерной классической интерполяции Эрмита (с точки зрения интерполяций в аналитических пространствах), а также для многомерной нестандартной интерполяции Алпая-Ижера. Речь идет об алгебраической интерполяции, в которой узлами служат дискретные корни системы полиномиальных уравнений. С помощью двойственности вычета Гротендика задача искомого интерполяционного пространства функций редуцируется к решению аффинно-билинейного уравнения. Для реализации этой редукции нами развит алгоритм вычисления локальных вычетов Гротендика или их сумм. В частности, получено обобщение известной формулы Гельфонд-Хованского. С топологической точки зрения исследование состоялось в том, чтобы остов полиэдра Вейля гомологически представить линейной комбинацией торических циклов в дополнении алгебраической гиперповерхности. Результат был получен с помощью свойств амебы алгебраического множества.?Рассмотрены новые примеры систем трансцендентных уравнений, в которых младшие однородные части имеют вторую и третью степени. Вычислены вычетные интегралы для них и соответствующие им числовые ряды.?Доказана теорема единственности некорректной задачи Коши для одного класса 2m-параболических дифференциальных операторов в частных производных в ограниченной цилиндрической области в случае, когда кусок гиперповерхности, где заданы данные Коши, открыт в относительной топологии границы области. Получено необходимой и достаточное условие разрешимости задачи в анизотропных пространствах Соболева в терминах вещественно-аналитической продолжимости параболических потенциалов, ассоциированных с данными задачи из меньшей цилиндрической области в большую. Построена общая неявная формула для решения задачи в виде разности суммы параболических потенциалов, ассоциированных с данными, и аналитическим продолжением этой суммы из внешности рассматриваемой области в саму область через гиперповерхность, где заданы данные Коши. Кроме того, доказана теорема единственности задачи Коши для одного достаточно специального нелинейного возмущения оператора Коши-Римана.?Для функции векторного разбиения, построенной для обобщенного рационального симплекса, получена формула для дискретной первообразной, доказан соответствующий дискретный аналог формулы Ньютона-Лейбница и определены аналоги чисел и многочленов Бернулли. Используя преобразования Бореля кратных степенных рядов, найдено интегральное представление для дискретной первообразной и формула суммирования Эйлера-Маклорена.?Полученные для рациональных параллелепипедов результаты о суммировании функций дискретного аргумента обобщены на случай рациональных параллелотопов. А именно, описан класс полиномиальных разностных операторов (операторов с суммирующим эффектом), определено понятие дискретной первообразной. Получено описание многочленов Бернулли, которые являются решениями разностного уравнения, символ которого - это полиномиальный разностный оператор с суммирующим эффектом.?С помощью техники торических морфизмов получено новое интегральное представление коэффициента ряда Лорана рациональной функции n комплексных переменных.