Тип публикации: отчёт о НИР
Год издания: 2021
Ключевые слова: аналитическое множество, амеба, веер Бергмана, k-выпуклость, голоморфное продолжение, вычет, интегральные представления, формулы Грина, некорректные задачи
Аннотация: Аналитические полиэдры играют важную роль в комплексном анализе. Например, интегральные представления Бергмана-Вейля в таких полиэдрах обеспечивают широкий диапазон аппроксимаций голоморфных функций. Являясь границами Шилова, остовы аналитических полиэдров служат множествами единственности и представляют эффективный инструментарий Показать полностьюв теории многомерных вычетов. Здесь они выступают как циклы интегрирования в средних гомологиях дополнений комплексных гиперповерхностей. В частности, такие циклы присутствуют в конструкции вычета Гротендика – одного из краеугольных камней комплексного анализа и алгебраической геометрии.?Самыми простыми (атомарными) остовами являются вещественные торы – остовы полидисков. После статья Гельфонд –Хованского 2002 г. стал очевидным тот факт, что циклы Гротендика линейно выражаются через торы. Тем самым, такая линейная связь выражает наиболее общую теорему о вычетах, в частности, она служит мостом между двумя концепциями вычета: вычета Гротендика и вычета ряда Лорана.?В отчетном периоде 2-го года мы исследовали два вопроса из теории многомерных вычетов, касающихся гомологий циклов в указанных концепциях (задачи 1 и 8 из списка ожидаемых результатов). Главным инструментом нашего исследования являются понятия амебы алгебраической гиперповерхности V в комплексном торе Tn: амебой V называется образ V относительно логарифмической проекции Log из Tn в Rn. Известно, что дополнение амебы в Rn состоит из конечного числа связных компонент. Прообраз относительно Log каждой точки из дополнения амебы – это вещественный n-мерный тор, расположенный в дополнении гиперповерхности V. Рассмотрим семейство торов {Г_j}, соответствующих семейству связных компонент. Доказана ?Теорема 1. Совокупность торов {Г_j} является гомологически независимой системой n-циклов в дополнении к V.?Другой результат касается обобщения теоремы Гедьфонд-Хованского. Напомним, что в статье Гельфонд-Хованского получено представление цикла Гротендика в случае, когда многогранники Ньютоны участвующих полиномов «развернуты». Наш результат показывает. что свойство «развернутости» можно опустить. При этом в формуле для цикла Гротендика добавляются торы из связных компонент дополнения амебы полярного дивизора из вычета Гротендика.?В теории дифференциальных операторов исследовано две проблемы ?Первая проблема тесно связана с теорией эволюционных (линейных и нелинейных) уравнений Навье-Стокса. Исследованы единственность и существование решений для одного класса линейных/нелинейных уравнений, ассоциированных с комплексом де Рама над n-мерным евклидовым пространством на специально построенных шкалах пространств типа Бохнера-Соболева. Главная дифференциальная (линейная) часть операторов есть диагональный матричный оператор теплопроводности, в то время как нелинейные члены уравнения задаются с помощью подходящих билинейных дифференциальных операторов первого порядка. В каждой степени комплекса нелинейности имеют свой специфический вид, причем в степени 0 уравнение совпадает с уравнениями типа Бюргерса, а в степени 1 – с уравнениями типа Навье-Стокса. Для выбранных функциональных пространств доказаны подходящие теоремы вложения и непрерывность рассматриваемых дифференциальных операторов. Нелинейные уравнения рассматриваются как операторные нелинейные уравнения в этих пространствах Банаха. В них исследована производная Фреше соответствующих нелинейных операторов и доказана их непрерывная обратимость на шкалах выбранных пространств. Наконец, теорема Банаха обратном отображении гарантирует открытость образа изучаемых нелинейных операторов. Для пространства Фреше, полученного пересечением пространств Бохнера-Соболева всех конечных гладкостей теорема об открытом отображении получается после применения теоремы Нэша-Мозера.?Вторая проблема связана с обратной задачей электрокардиографии по восстановлению трансмембранного потенциала в тканях сердца через измерения электрического потенциала на поверхности тела. Математически, в рамках стандартой бидоменной модели работы сердца, – это задача трансмиссии для двух областей, одна из которых компактно вложена в другую. Нами описано пространство решений однородной стационарной задачи трансмиссии в пространствах Соболева, доказана его бесконечномерность при стандартных условиях из теории электрокардиографии, а также предложены дополнительные уравнения эллиптического типа, добавление которых в бидоменную модель сердца гарантирует конечномерность соответствующего пространства. Приведены и естественные примеры возможных дополнительных эллиптических уравнений четвертого порядка, базирующиеся на физических законах распределения электрических зарядов. Для одной из эволюционных версий модели теорема о единственности решений данной задачи трансмиссии доказывается нами в пространствах Бохнера-Соболева в предположении вещественной аналитичности коэффициентов рассматриваемых операторов. В частности, для ее доказательства исследованы условия, при которых указанная выше некорректная задача Коши для параболического/обратно параболического оператора второго порядка имеет не более одного решения.?В теории дискретного интегрирования рассмотрен подход Эйлера к задаче суммирования функций. В нем нужно определить понятие дискретной первообразной. В случае произвольного рационального многогранника это трудная и нерешённая задача. Для рациональных параллелепипедов удалось описать класс полиномиальных разностных операторов (операторы с суммирующим эффектом), использование которых позволяет определить понятие дискретной первообразной и решить задачу суммирования.?Существенную роль в решении задачи суммирования играют такие понятия как многочлены и числа Бернулли, а также дифференциальный оператор бесконечного порядка – оператор Тодда.?Многочлены Бернулли – это решение разностного уравнения с полиномиальным символом, правой частью которого является моном. Получено описание многочленов Бернулли, которые являются решениями разностного уравнения, символ которого – это полиномиальный разностный оператор с суммирующим эффектом.?Числа и многочлены Бернулли возникают в различных областях математики и тождества с ними являются важной частью перечислительного комбинаторного анализа. Методы исследования задачи суммирования функций нескольких переменных, связанные с преобразованием Бореля кратных степенных рядов, и, в частности, интегральное представление для дискретной первообразной позволили получить серию новых тождеств для чисел и многочленов Бернулли.?Рассмотрены различные типы систем трансцендентных уравнений: простейшие, специальные и общие. Так как число корней таких систем, как правило, бесконечно, то необходимо изучить степенные суммы корней в отрицательной степен, которые являются сходящимися многомерными рядами. Найдены формулы для нахождения вычетных интегралов, их связь со степенными суммами корней в отрицательной степени, многомерные аналоги формул Варинга и Ньютона. Приведены различные примеры трансцендентных систем уравнений и вычислены суммы некоторых многомерных числовых рядов.?В нашем исследовании рассматриваются непрерывные функции, определенные на границе ограниченной области D в Сn, n> 1 с кусочно-гладкой границей и обладающие обобщенным граничным свойством Морера вдоль семейства комплексных прямых, которые пересекают границу области. Свойство Морера состоит в том, что интеграл от заданной функции равен нулю по пересечению границы области с комплексной прямой. Эту проблему следует рассматривать только в многомерном случае (n> 1). Основным методом изучения таких функций является метод многомерных интегральных представлений, в частности интегрального представления Бохнера-Мартинелли.?Доказано достаточное условие алгебраичности диагонали ранга r ряда Лорана рациональной функции n комплексных переменных.?Доказана теорема о классе Нильсона диагонали ранга 1 ряда Лорана рациональной функции.?Известная одномерная интерполяция Эрмита состоит в следующем. По заданным точкам {a_j} на комплексной плоскости с приписанными им кратностями {m_j} требуется построить аналитическую функцию, у которой в каждой точке все значения производных порядков от нуля до m_j-1 принимают заданный набор значений. оптимальным решением этой задачи Эрмита является интерполяционный многочлен, который определяется на языке полинома P с корнями {a_j} кратностей {m_j} и соответствующих вычетов рациональных функций со знаменателем P. Идея привлечения алгебраического множества P=0 с носителем, расположенным в узлах интерполяции, становится особенно плодотворной в многомерном случае. В стандартной постановке интерполяционную задачу следует рассматривать как восстановление функции на аналитическом пространстве по ее значениям на узлах.?Недавно появились работы о так называемых нестандартных интерполяциях (см., например, статью Alpay D., Yger A. About a Non-standard Interpolation Problem // Comput. Methods Function Theory. 2019 Vol. 19). В них рассматриваются многомерные интерполяции, построенные по 0-мерному идеалу в кольце полиномов от n переменных. Нестандартность состоит в том, что интерполяционная формула строится не по значениям функции в узлах аналитического пространства, а по значениям в точках сопряженного пространства.?Для построения интерполяционных функций (как в стандартной постановке, так и в нестандартной) необходимо применять технику вычисления локальных вычетов Гротендика.?Рассматривается вопрос аналитической продолжимости кратного степенного ряда (с центром в нуле) в секториальную область пространства Cn. Условие для указанной продолжимости приводится на языке индикатора целой функции, интерполирующей коэффициенты ряда.