Тип публикации: отчёт о НИР
Год издания: 2020
Ключевые слова: аналитическое множество, амеба, веер Бергмана, k-выпуклость, голоморфное продолжение, вычет, интегральные представления, формулы Грина, некорректные задачи
Аннотация: 1. В теории распределения нулей и значений аналитических функций одного комплексного переменного основополагающую роль играет считающая функция, которая называется функцией Иенсена. В исследованиях аналитических множеств коразмерности 1 (гиперповерхностей) имеется аналог считающей функции, которую мы называем функцией Иенсена-РонкиПоказать полностьюна Градиент этой функции постоянный на каждой связной компоненте дополнения амебы гиперповерхности, он целочисленный, причем на различных компонентах его значения различны. Этот факт позволяет пересчитывать (кодировать) связные компоненты целочисленными векторами. Более тщательный топологический анализ показывает, что такой пересчет есть не что иное, как отображение 0-мерной группы гомологий дополнения амебы в 1-мерную группу когомологий (над целочисленным кольцом) комплексного алгебраического тора (где расположена гиперповерхность). Это отображение мы называем функцией порядка. С учетом приведенного наблюдения, становится естественным определить функцию порядка для аналитических множеств V произвольной коразмерности k, как отображение (k-1)-мерной группы гомологий дополнения амебы A(V) в k-мерную группу когомологий объемлющего тора. Вместе с нашими зарубежными коллегами Ф. Сотиллом (F. Sottile) и М. Ниссом (M. Nisse) функция порядка реализована в виде обобщенных логарифмических вычетов, а также введена функция порядка для неархимедовой (тропической) амебы.?2. Исследован характер ветвления полной q-диагонали ряда Лорана рациональной функции n комплексных переменных в ее особой точке. Такая особая точка отвечает одной из точек на полярной гиперповерхности рациональной функции, лежащих в слое логарифмического отображения Гаусса этой гиперповерхности над q. Доказано, что для четных n ветвление имеет алгебраический характер, а для нечетных — логарифмический. Как следствие этого факта, получается достаточное условие неалгебраичности полной q-диагонали ряда Лорана рациональной функции нескольких комплексных переменных.?3. Для различных систем неалгебраических (трансцендентных) уравнений рассмотрены степенные суммы корней в отрицательной степени. Для вычисления степенных сумм рассмотрены вычетные интегралы, использующие интегрирование по остовам поликругов определенного вида. Заметим, что эти интегралы, вообще говоря, не являются многомерными логарифмическими вычетами или вычетами Гротендика. Для различных типов младших однородных частей даны формулы для нахождения вычетных интегралов через коэффициенты Тейлора функций, входящих в систему, и установлена их связь со степенными суммами корней в отрицательной степени. В частности изучены системы, возникающие в модели Зельдовича-Семенова в химической кинетике.?4. Для полиномиальных дифференциальных операторов специального вида сформулирована и решена начально-краевая задача Хёрмандера в классе рядов Лорана с носителями в рациональных унимодулярных конусах. В доказательстве разрешимости задачи существенную роль играет преобразование Бореля рядов Лорана, которое позволяет сопоставить дифференциальной задаче разностную с тем же символом и воспользоваться известным результатом о разрешимости разностного варианта задачи. ?Предложен новый подход к проблеме суммирования функций дискретных аргументов, основанный на преобразовании Бореля кратных степенных рядов и интегральных представлений верхней и нижней функций преобразования. В задаче суммирования по целым точкам рационального параллелепипеда получены интегральное представление для дискретной первообразной, дискретный аналог формулы Ньютона-Лейбница и новый вариант формулы Эйлера-Маклорена.?Проведено исследование задачи Коши для эволюционных нелинейных уравнений Навье-Стокса в случае несжимаемой жидкости и для одного класса их линеаризаций в специальных пространствах Бохнера-Соболева высокой гладкости над полосой с произвольным конечным положительным временем T в верхнем полупространстве евклидова пространства размерности (n+1) с произвольным n не менее 2. Доказана теорема существования и единственности решения этих задач на выбранной шкале пространств Бохнера-Соболева для всех достаточно высоких показателей гладкости, индексирующих элементы шкалы. Как следствие, нелинейная эволюционная задача Коши для уравнений Навье-Стокса решена в пространствах гладких векторных функций над всем верхним полупространством евклидова пространства размерности (n+1), с предписанным стандартным поведением решений и их частных производной в бесконечности, что составляет, по нашему мнению, решение одной из Задач Тысячелетия, объявленных институтом Клэя. С ранней версией работы можно ознакомиться по ссылке https://arxiv.org/abs/2009.10530.?5. Описание областей сходимости кратных степенных рядов представляет собой сложную задачу. В 1889 г. Горн показал, что для гипергеометрических рядов ситуация сравнительно благоприятнее. Он нашел параметризацию поверхности сопряженных радиусов сходимости для таких рядов. Однако до недавнего времени отсутствовала какая-либо информация о задании областей сходимости функциональными неравенствами. Мы получили такое описание для гипергеометрических рядов, представляющих решения тетраномиальных алгебраических уравнений. Более того, доказано, что как правило рассматриваемые области задаются одним или двумя неравенствами с участием приведенных дискриминантов.