Год издания: 2020
Ключевые слова: аналитическое множество, амеба, веер Бергмана, k-выпуклость, голоморфное продолжение, вычет, интегральные представления, формулы Грина, некорректные задачи
Аннотация: Комплексные аналитические множества и многомерные вычеты составляют пару концепций многомерного комплексного анализа, тесно связанных между собой. С каждым аналитическим множеством V ассоциируются вычеты в виде интегралов дифференциальных форм с полярными особенностями на V по циклам из дополнения V. И обратно. Основные направленияПоказать полностьюкомплексной аналитической геометрии – теория пересечений и теория исключений. Первая теория находит свое отражение в теории вычетов логарифмического типа. Вторая базируется на понятии разветвленного аналитического накрытия, которое можно реализовать с помощью обобщенных логарифмических вычетов и техники формул Варинга или Ньютона.?В рамках проекта исследуется ряд новых задач, связанных с дифференциальной геометрией и свойство псевдовыпуклости аналитических множеств (пространств), а также с амебами – проекциями этих множеств на подпространство модулей (норм) в логарифмической шкале. Геометрическое строение амебы проще чем у самого аналитического множества. И это обстоятельство помогает уточнить гомологическую структуру дополнений самих аналитических множеств, следовательно, обогатить арсенал методов многомерной теории вычетов. Нами впервые вводится понятие функции порядка на дополнении амебы аналитического множества коразмерности k>1. Предполагается изучить свойство k-выпуклости (по Громову) дополнения амебы. На языке тропической амебы (веера Бергмана) ожидается дать новую интерпретацию комбинаторных коэффициентов в известной формуле Гельфонд-Хованского для торического вычета.?Актуальность исследуемых задач подтверждается не только наличием их связи с бурно развивающейся тропической математикой, но и конкретными запросами других наук, например, в исследовании моделей химической кинетики (модель Зельдовича-Семенова). Одно из направлений проекта состоит в построении теории исключений для трансцендентных систем уравнений. Кроме этого, интегральные методы будут применяться нами в исследовании регуляризационных методов для дифференциальных операторов эллиптического и параболического типа.