Тип публикации: отчёт о НИР
Год издания: 2022
Ключевые слова: Динамические математические модели социально-экономических явлений, аппроксимация уравнений в частных производных, численные методы решения задач оптимизации
Аннотация: I. Начиная с 2020 года разработаны десятки математических моделей, позволяющих прогнозировать распространение SARS-Cov-2. Однако общепризнанного подхода не сложилось. Традиционно большинство предлагаемых моделей для прогнозирования динамики заболеваемости основано на использовании обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). ТакиПоказать полностьюе модели обычно называют ка́мерными или моделями типа SIR, где исходная модель 1927 года предполагает разбиение популяции на три эпидемиологических группы. Вычислительная простота таких моделей привела к огромному множеству их модификаций. Однако модели типа SIR становятся непригодными для долгосрочного прогнозирования. Это привело к тому, что с развитием компьютерных технологий стали появляться вычислительно более сложные агентные модели, модели машинного обучения и нейронные сети. Однако реализация агентных моделей сопровождается необходимостью иметь большие вычислительные ресурсы, а машинное обучение требует наличие большой статистически значимой выборки, набор которой практически нереализуем в условиях изменчивости вируса. Поэтому в настоящее время набирают популярность модели, позволяющие уточнить агентный подход, используя теорию игр «среднего поля» (MFG), позволяющую описывать динамику поведения популяции с помощью небольшого числа дифференциальных уравнений в частных производных. Однако подход «среднего поля» наследует не только положительные свойства базовой дифференциальной модели, но отрицательные – чувствительность модели к начальным данным и вероятностям перехода между группами населения. Для улучшения свойств работа проводилась в три этапа. ? Первый этап заключался в разработка базовой дифференциальной модели SIRV-D на основе ОДУ, являющейся расширением простейшей модели SIR, где «умершие» отделяются от «иммунных», а также рассматривается группа «привитых». У построенной модели есть определенные преимущества: статистические данные по каждой группе населения открыты и известны из официальных источников, а определение числовых значений параметров модели сводится к решению системы линейных уравнений.? На втором этапе на основе простой модели с ОДУ построена модель на основе поиска оптимального управления, где параметры, отвечающие за скорость распространения вируса внутри популяции, приняты зависимыми от социальных настроений населения (отношение к изоляции и вакцинации). Построено несколько сценариев динамики развития эпидемиологической ситуации для г. Красноярска в зависимости от различного социального поведения его жителей.? На третьем этапе модель оптимального управления рассмотрена с точки зрения теории «среднего поля» (модель MFG-SIRV-D). Здесь новая переменная учитывает две стратегии: изоляции и вакцинации, что позволяет строить прогнозы о развитии заболеваемости исходя из различных организационных мероприятий. Построено несколько сценариев динамики эпидемиологической ситуации для Красноярского края в зависимости от различного социального поведения его жителей.?? II. В последнее время при моделировании различных «нестандартных» процессов и явлений используются дробные дифференциальные производные. Дробные производные используются для моделирования эффекта «памяти», который присутствует у полимеризуемых или вязкоупругих частиц в физике или у агентов в экономических играх среднего поля. Традиционно в таких моделях целочисленная производная по времени в классической модели заменяется дробной производной по времени типа Капуто. Однако, на наш взгляд, реализация «памяти» каждого агента, перемещающегося по потоку, более точно отображается вдоль пути его перемещения.? Это означает, что в ряде случаев целесообразно строить математические модели, содержащие не дробную производную чисто по времени, а дробную материальную (Лагранжеву) производную вдоль траектории. В нашей предшествующей работе по проекту [A. Lapin and V. Shaidurov, “A diffusion-convection problem with a fractional derivative along the trajectory of motion”, Russ. J. Numer. Anal. Math. Model. 36, 157–163 (2021)] предложена новая математическая модель как обобщение известной задачи конвекции-диффузии типа Гамильтона-Якоби-Беллмана (ГЯБ). Она включает новое понятие дробной производной вдоль траектории (физической частицы или экономического агента), которое обобщает в одном понятии известную материальную (Лагранжеву) производную и известную дробную производную Капуто по времени. Для такой начально-краевой задачи конечно-разностная аппроксимация задачи была представлена с использованием полулагранжевой реализации дробной производной вдоль потока и простейшей конечно-разностной аппроксимации второй производной (диффузии) по пространству. Доказана однозначная разрешимость построенной сеточной схемы. Но такая конструкция применительно к уравнению Фоккера–Планка-Колмогорова (с материальной производной в дивергентной форме) не годится, поскольку не выполняются необходимые локальные и глобальные законы сохранения. Поэтому мы модифицировали уравнение, обобщив понятие материальной производной «дивергентного» вида с помощью дробной производной типа Римана-Лиувилля, а не Капуто. Для численного решения вместо полулагранжевой (Эйлерово-Лагранжевой) аппроксимации мы использовали полностью Лагранжев подход (с аппроксимацией дробной полной производной вдоль траекторий).? Публикации участников проекта по этой теме, а также выступления на четырех конференциях вызвали значительный интерес к этому новому направлению исследований и применению к процессам с «памятью» в физических явлениях и с памятью в обычном смысле у агентов в экономико-социальных моделях.?? III. При настройке параметров описанных и других математических моделей пользователи систематически сталкиваются с решением обратных задач восстановления параметров по известным (часто избыточным) данным с системами линейных алгебраических уравнений с прямоугольными, вырожденными или плохо обусловленными матрицами коэффициентов. ? Во-первых, мы рассмотрели экстраполяцию Ричардсона как линейную комбинацию двух регуляризованных решений (с двумя разными малыми параметрами) системы линейных алгебраических уравнений с симметричной вырожденной матрицей. Ранее этот прием повышения точности регуляризованных решений был предложен и проиллюстрирован в монографии [Г.И. Марчук, В.В. Шайдуров, «Повышение точности решений разностных схем», М.: Наука, 1979] для систем с невырожденными матрицами. В этом проекте мы рассмотрели и обосновали его в контексте получения значимых решений для систем с симметричными матрицами. Этот тип решения в задачах обработки данных (числовых последовательностей, числовых полей, изображений) характеризуется линейной оболочкой собственных векторов с незначительными осцилляциями и несет бóльшую часть информации. При определенных требованиях вклада этих векторов описанная экстраполяция повышает порядок точности приближенного решения.? Во-вторых, предложен новый способ линейной комбинации двух регуляризованных решений системы линейных алгебраических уравнений с симметричной вырожденной матрицей для случая значительного вклада собственных векторов из ядра этой матрицы. На этот раз линейная комбинация строится так, чтобы полностью аннулировать вклад векторов ядра в приближенное решение. Численные примеры показывают, что обычная однопараметрическая регуляризация может не справиться с погрешностью, доставляемой векторами из ядра, в то время как построенная линейная комбинация устраняет этот тип погрешности, предоставляя нормальное псевдорешение несовместной системы с приемлемой точностью.