Тип публикации: отчёт о НИР
Год издания: 2021
Ключевые слова: Динамические математические модели социально-экономических явлений, аппроксимация уравнений в частных производных, численные методы решения задач оптимизации
Аннотация: При решении практических задач, приближенных к практике, с математическими постановками «игр среднего поля» исследователи систематически сталкиваются с ограничениями на ресурсы или на достигаемое финальное распределение агентов (населения, продавцов, покупателей, предприятий). Математически это выражается в том, что совокупность трПоказать полностьюадиционных параболических дифференциальных уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова, Гамильтона-Якоби-Беллмана и алгебраических уравнений связи коэффициентов должна быть реализована в условиях дополнительного неравенства. Основываясь на теореме Каруша-Куна-Таккера, эта постановка сведена к нахождению седловой точки Лагранжиана, содержащего дополнительный числовой множитель Лагранжа в условии дополняющей нежесткости.? Ранее членами коллектива для задач «игр среднего поля» (без дополнительных ограничений в виде неравенств) были разработаны методы Эйлерово-Лагранжевой аппроксимации дифференциальных уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова и Гамильтона-Якоби-Беллмана, сохраняющие взаимную сопряженность операторов дискретных задач по аналогии с дифференциальными уравнениями. Причем дискретизация выполнена так, что каждое уравнение связи представляет собой одномерное алгебраическое уравнение, однозначно разрешимое независимо от других уравнений. Были также построены быстро сходящиеся итерационные алгоритмы решения дискретных аналогов.? Для постановки задачи среднего поля с дополнительным ограничением в виде неравенства использованы эти же методы аппроксимации. Более того, использован тот же итерационный алгоритм решения дискретных аналогов. Для численного решения задачи с дополнительным ограничением этот итерационный алгоритм реализован для сходимости внутри каждой итерации внешнего цикла, вычисляющего числовой множитель Лагранжа для выполнения условия дополняющей нежесткости. Созданный алгоритм со вложенными циклами реализован в виде программы для одномерных (по пространству) параболических уравнений. Проведена серия вычислительных экспериментов, продемонстрировавшая высокую эффективность алгоритма.?? В последние десятилетия математические модели с уравнениями в частных производных с дробными производными стали обычным явлением для описания различных явлений в физике, механике и экономике. Среди огромного количества работ по теории и численным методам уравнений с дробными частными производными ряд статей посвящен решению задач конвекции-диффузии с дробной производной по времени, использование которой связано со включением в явления некоторой «памяти». Но с точки зрения движения частицы передача свойства памяти (например, полимеризуемой или вязкоупругой частицы) более точно отслеживается вдоль пути этой частицы. И уж тем более «память» агента строго привязана к его траектории в социально-экономических задачах теории среднего поля. Это также верно для уравнений Гамильтона-Якоби-Беллмана при управления агентами с памятью. Поэтому разумно строить математические модели, содержащие дробную производную не по времени, а вдоль траектории движения.? Работа по модификации дробной производной типа М. Капуто привела к формулировке нового определения дробной производной вдоль траектории движения. Для полученных постановок уравнений с такой дробной производной разработаны методы дискретной аппроксимации с обоснованием устойчивости и сходимости. Кроме того, реализован вычислительный алгоритм численного решения таких задач в одномерном (по пространству) случае.? Аналогичная работа проведена для уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова и привела к обобщению другой новой дробной производной типа Римана-Лиувилля вдоль траектории движения. Для полученной формулировки уравнений с такой дробной производной тоже разработаны методы дискретной аппроксимации с обоснованием устойчивости и сходимости. Кроме того, реализован вычислительный алгоритм численного решения таких задач в одномерном (по пространству) случае.?? Для численного решения математической модели типа Блэка-Шоулса (для опционов купли или продажи) применяются две замены переменных. Первая, традиционная замена повышает гладкость преобразованного решения. А вторая, новая замена переводит задачу с параболическим уравнением, заданным в области со свободной границей, к другому параболическому уравнению с некоторым неизвестным коэффициентом, но уже в области с фиксированной границей. Новая постановка оказывается алгоритмически более удобной для численного решения. ? Для аппроксимации полученной начально-краевой задачи (в фиксированной прямоугольной области) разработана комбинация лагранжевой аппроксимации для суммы производных первого порядка и метода конечных разностей для эллиптического оператора. Неизвестный коэффициент уравнения определяется последовательно по времени путем итераций метода секущих на каждом временном слое для выполнения дополнительного граничного условия, вытекающего из условия сопряжения решения исходной задачи вдоль внутренней границы, которая после замен переменных перешла в прямую линию.? Определены достаточные степени сгущения разностных сеток по времени и по пространству, обеспечивающие первый порядок аппроксимации и сходимости дискретной задачи на конечном интервале. Написана программа и проведены вычислительные эксперименты для опциона продаж.? Как исходное параболическое уравнение Блэка-Шоулса, так и полученное уравнение после двух замен переменных заданы на бесконечном интервале (0, +∞). Краевое условие на правом конце интервала состоит в стремлении решения к нулю при x → +∞. Поэтому практически во всех вычислительных алгоритмах просто полагают решение равным нулю при некотором достаточно большом X для всех t. Вместе с тем, его реальное значение растет с увеличением t.? В противоположность этому эффекту из дифференциальных свойств задачи вытекает все бóльшая стабилизация решения с увеличением t. Отсюда, полагая, что производная решения по времени при росте t стремится к нулю, мы полагаем ее равной нулю, начиная с некоторого X и приходим к решению обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Его решение выражается в явной форме с помощью элементарных функций. Использование этого аналитического выражения для базисной функции на участке (X, + ∞) в методе конечных элементов существенно уменьшает величину X по сравнению с первым типом краевого условия. Формирование дискретной системы уравнений конечных элементов с участием этой базисной функции осуществляется без использования квадратурных формул путем интегрирования элементарных функций.? В итоге, второй тип краевого условия дополняет первый тип на разных участках по времени, а их комбинация дает более эффективный численный метод за счет уменьшения вычислительной области.?