Тип публикации: отчёт о НИР
Год издания: 2020
Ключевые слова: Динамические математические модели социально-экономических явлений, аппроксимация уравнений в частных производных, численные методы решения задач оптимизации
Аннотация: Математическая теория игр среднего поля позволяет адаптировать исходно развитую теорию «среднего поля» статистической физики к случаям, когда физические частицы заменяются рациональными агентами (продавцами, покупателями, населением, предприятиями), которые динамически выбирают свое поведение с наибольшей выгодой (или наименьшими зПоказать полностьюатратами) в складывающейся обстановке. Это приводит к задаче оптимизации, выливающейся в пару связанных параболических уравнений в частных производных второго порядка типа Фоккера-Планка-Колмогорова и Гамильтона-Якоби-Беллмана. Последнее уравнение вытекает из вариации функционала стоимости. В предшествующих математических постановках интеграл функционала стоимости обычно содержал функцию управления в виде квадрата, упрощая теоретическое обоснование и построение вычислительных алгоритмов. В наших математических постановках функция управления входит в интеграл функционала стоимости в более общем виде, допускающем разнообразные приемы управления экономическими и социальными процессами. Математическая постановка задачи для мотивации перехода агентов на требуемое состояние (распределение) сформулирована в виде задачи для минимизации стоимости достижения финального распределения, наиболее близкого к требуемому, при условии заданной формы вклада функции управления (допускаемой в довольно общем виде) в интегральный функционал стоимости. Формулировка реализована как задача «второго порядка» в соответствии с порядком получаемых параболических уравнений в частных производных. Задачи «первого порядка» с нулевыми коэффициентами при вторых производных, иногда называемые также транспортными (по переводу из одного состояния в другое), проще исследуемых в проекте задач второго порядка и неплохо исследованы, поэтому в проекте они не изучались.Исследована задача с дробной нелокальной производной вместо второй частной производной, характеризующей в зависимости от показателя как пониженную, так и повышенную степень стохастического колебания агентов при локальном выборе своего поведения. Дробная нелокальная производная здесь математически вводится как дробная степень самосопряженного неотрицательно определенного лапласиана со знаком минус. Отметим, что эта модификация не имеет отношения к дробным направленным производным типа производных М. Капуто, применение которых предполагается исследовать в следующем году в контексте задач среднего поля. Сформулирована и затем численно исследована задача оптимизации с ограничением финансовых ресурсов, что является частой ситуацией в социально-экономических условиях. Для дискретизации уравнений использован Эйлерово-Лагранжев подход, часто называемый полулагранжевым, с раздельной аппроксимацией оператора переноса (суммы первых производных по времени и пространству) и эллиптического оператора с их последующим сложением. Аппроксимация оператора переноса для уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова осуществляется вдоль траекторий с выполнением локального интегрального закона сохранения плотности агентов. Аппроксимация самосопряженного эллиптического оператора на фиксированном слое по времени осуществляется методом конечных разностей по пространству. После суммирования аппроксимаций на каждом временном слое получается система линейных алгебраических уравнений с симметричной положительно определенной матрицей. Исследование аппроксимации и устойчивости построенной сеточной задачи осуществлено в сеточном аналоге пространства L1 и дает первый порядок аппроксимации по времени и второй по пространству для полученной устойчивой разностной схемы. Аппроксимация уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана получается автоматически из формализма (последовательности действий), аналогичного его выводу на дифференциальном уровне, но реализованному на дискретном, алгебраическом уровне. В результате матрица сеточного аналога этого уравнения сопряжена матрице дискретного аналога уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова. Прямая проверка с использованием разложения в ряд Тейлора дает первый порядок аппроксимации по времени и второй по пространству для полученной таким образом устойчивой разностной схемы в сеточном аналоге пространства L∞. Сопряженность дискретных аналогов пространств L1 и L∞ (в отличие от самих пространств L1 и L∞) существенно упрощает изучение свойств задачи оптимизации на дискретном уровне. Следование такому формализму на дискретном уровне дает сеточные (дискретные) постановки задач оптимизации, имеющие самостоятельную ценность помимо исходных дифференциальных постановок. Во-первых, несмотря на большое количество агентов в некоторых задачах, а особенно в задачах с их небольшим числом, конечномерные аналоги участников (в виде частичных интегралов распределения) находятся ближе к реальности, чем в задачах с их бесконечным числом. Во-вторых, быстрое расширение круга решаемых дифференциальных задач среднего поля на настоящий момент времени сопровождается незначительным увеличением небольшого островка постановок, для которых доказано существование решения, часто без обоснования его единственности и гладкости. Так что традиционное обоснование сходимости сеточного решения к дифференциальному при стремлении шагов сетки к нулю в ряде постановок остается надеждой до непростого выяснения свойств решения дифференциальной задачи. Вместе с тем, дискретные задачи среднего поля дают вполне конкретные рекомендации (иногда даже количественные) для прогноза совокупного поведения массы агентов и предоставляют средства динамического моделирования такого поведения и достижения требуемых результатов в разных социально-экономических условиях и при разных приемах управления. В целом, получаемая дискретная задача среднего поля представляет собой систему нелинейных алгебраических уравнений из трех связанных блоков, соответствующих уравнению Фоккера-Планка-Колмогорова, уравнению Гамильтона-Якоби-Беллмана и системе алгебраических выражений для функции управления. Достоинством созданной методики является дезинтеграция последней системы в набор несвязанных между собой явных равенств или одномерных алгебраических уравнений. Решение задачи в целом осуществляется итерационным путем. Фиксируя некоторое начальное приближение для управления (например, нулевое), формируем и решаем систему линейных алгебраических уравнений, соответствующих уравнению Фоккера-Планка-Колмогорова, получая соответствующее динамическое распределение агентов. Используя его для формирования дискретной системы Гамильтона-Якоби-Беллмана, вновь получаем систему линейных алгебраических уравнений. Ее решение используется для поточечного (по времени и по пространству) вычисления новой дискретной функции управления, с которой повторяется этот цикл до достижения сходимости, подтверждаемой установлением величины функционала стоимости. Во всех сформулированных нами алгоритмах обосновано монотонное уменьшение функционала стоимости в направлении скорейшего спуска по совокупности всех компонент сеточной функции управления. В итоге, таких совокупных итераций по нелинейности обычно требуется небольшое число от пяти до десяти для достижения точности функционала стоимости в несколько знаков. Получаемые дискретные системы линейных алгебраических уравнений решаются экономичными алгоритмами типа метода прогонки в одномерном случае, быстрого преобразования Фурье или циклической редукции в двумерных случаях. Полученные модели, их аппроксимации и построенные вычислительные алгоритмы доложены на шести международных и российских конференциях.