Тип публикации: отчёт о НИР
Год издания: 2015
Ключевые слова: астероидно-кометная опасность, численное моделирование, уравнения Навье-Стокса, вязкий ионизируемый газ, высокопроизводительные вычисления
Аннотация: В течение 2015 года в направлении моделирования динамики прохождения космического тела в атмосфере Земли получены следующие результаты.??Сформирована трехмерная физико-математическая модель прохождения космического тела в атмосфере Земли. ?Для физической модели атмосферы взято распределение по высоте плотности, давления, состава и Показать полностьютемпературы стандартной атмосферы Земли, главным образом состоящей из молекул азота и кислорода. Детально сформирована трехмерная физико-математическая модель прохождения импактного тела, создан численный метод ее решения, осуществлены его алгоритмические и программные реализации. В качестве импактного тела берется комковатое образование, состоящее из комково-пылевого материала с плотностью и существенной «вязкостью», моделирующей показатель прочности импактного тела, закладываемыми пользователем комплекса программ при проведении вычислительного эксперимента.?Для моделирования влияния на атмосферу явлений, сопровождающих прохождение космического тела (абляция вещества, ионизация воздуха, колебательное и электронное возбуждение молекул и их декомпозиция), сформирована и уточнена «газодинамическая» модель энергетического взаимодействия импактных тел с атмосферой, в основе которой лежит модифицированная трехмерная нестационарная система уравнений Навье-Стокса для вязкого теплопроводного газа, которые дополнены уравнением для концентрации комково-пылевой смеси импактного тела. Уравнения описывают законы сохранения массы, количества движения, внутренней энергии и концентрации распыляемого вещества. Эти уравнения в частных производных замыкаются тремя алгебраическими уравнениями состояния среды. Одно из них стандартно связывает давление с температурой и плотностью, второе выражает динамический коэффициент вязкости через температуру. Третье соотношение связывает между собой внутреннюю энергию, давление и температуру. Оно потребовалось, поскольку в области расчетных температур от 100 К до 20000 К удельная внутренняя энергия газа складывается из шести источников: поступательное и вращательное движение молекул, энергия их колебаний, электронное возбуждение и декомпозиция молекул и ионизация атомов. Ясно, что энергия поступательного движения молекул и определяет температуру среды, несмотря на возможно бо́льшую часть других видов удельной энергии.?При умеренных температуре и давлении поступательная и вращательная удельные внутренние энергии газа пропорциональны ввиду равнораспределения энергии по степеням свободы молекул, поскольку остальные четыре состояния считаются замороженными. Поэтому обычно температура берется пропорциональной внутренней энергии. При включении других энергетических состояний это правило не выполняется, для чего нам и потребовалось третье алгебраическое соотношение. Оно основано на численно-эмпирических данных для воздуха, проработанных в нашей стране в 1950 - 1960-х годах для широкого диапазона температур и давлений и опубликованных в цикле монографий группы авторов под руководством А.С. Предводителева. В итоге интерполяции таблично заданной зависимости внутренней энергии от давления и температуры мы получаем нелинейную алгебраическую связь для нахождения температуры при известном давлении и внутренней энергии. ?В упомянутом цикле монографий приведены также результаты численных расчетов, настраиваемых по эмпирическим данным, о процентных долях декомпозиции и ионизации молекул азота и кислорода с соответствующими затратами энергии. Привлечение этих данных, а также эмпирического коэффициента светового излучения для расчета баланса удельной энергии замыкает описание системы уравнений в частных производных, включая коэффициенты этих уравнений и их алгебраические зависимости. ?В дополнение к предшествующей модели внесено влияние силы тяжести в уравнениях количества движения, что дало заметный вклад в несимметрию динамики следа при входе тела в атмосферу наклонно к поверхности Земли.?Начальные условия для сформированной системы уравнений в частных производных с физической точки зрения не вызывают затруднений. Импактное тело с заданной геометрией, скоростью, плотностью, вязкостью и температурой помещается в вычислительную область – прямоугольную призму с осью симметрии вдоль направления входа тела в атмосферу с соответствующим наклоном к поверхности Земли. Вычислительная область захватывает атмосферу от сотни километров на входе тела до сотен метров до поверхности Земли. В сформулированной физико-математической модели не ставится задача определения взаимодействия ударной волны и сопутствующих потоков с поверхностью Земли.?В результате многочисленных вычислительных экспериментов выбраны два типа краевых условий на границе вычислительной области. При движении газа из вычислительной области со сверхзвуковой скоростью применяются краевые условия выноса из вычислительной области каждой субстанции (массы газа с соответствующей газо-пылевой концентрацией, компонент скорости, внутренней энергии) вдоль траекторий. А на участке с меньшей скоростью потока предложены и апробированы новые специальные краевые условия, связывающие компоненты тензора напряжений со скачком давления на границе. Они созданы по некоторой аналогии с краевыми условиями «do nothing», успешно применяемыми при решении системы уравнений Навье-Стокса для вязкой несжимаемой жидкости. ?В итоге сформулирована корректная постановка дифференциальной задачи с соответствующими начальными и краевыми условиями. ??Создание и программная реализация численного метода решения системы уравнений в частных производных.?Каждое из шести уравнений модифицированной системы Навье-Стокса содержит совокупность производных первого порядка, описывающих перенос соответствующей субстанции, которая нами записывается в виде одной наклонной производной, обычно называемой субстанциональной или лагранжевой. Для дискретизации дифференциальных уравнений использована пошаговая по времени аппроксимация модифицированных уравнений Навье-Стокса с помощью комбинации полу-лагранжевого метода аппроксимации субстанциональной производной и конформного метода конечных элементов для остальных слагаемых. В ходе теоретических исследований и последующей апробации детально разработано и проверено три приема аппроксимации нестационарных уравнений. Наиболее простой из них опирается на стандартный конформный метод конечных элементов с применением подходящих квадратурных формул для диагонализации вклада свободных членов и правой части, куда на этом этапе отнесена субстанциональная производная. После получения дискретной системы уравнений метода конечных элементов субстанциональная производная аппроксимируется вдоль характеристической кривой, описывающей траекторию частицы газа. Второй прием использует специальный тип конечных элементов в четырехмерном пространстве, содержащем время. Третий прием начинается с аппроксимации уравнения для субстанциональной производной в дивергентной форме с переносом остальных слагаемых в правую часть. После применения формулы Гаусса – Остроградского получается двухслойная локально-консервативная разностная схема, правая часть в которой аппроксимируется конечными элементами. ?Программная реализация и вычислительные эксперименты показали применимость всех трех приемов с разной эффективностью для разных нестационарных задач. В нашем случае надежнее работал третий прием, который и применялся для последующих численных расчетов. В двумерном случае в конформном методе конечных элементов брались билинейные элементы на прямоугольниках с квадратурными формулами в виде декартова произведения формулы трапеций, обеспечивающими свойство диагонализации свободных членов, в западной литературе называемое «lumping – effect». В трехмерном случае в конформном методе конечных элементов брались трилинейные элементы на прямоугольниках с квадратурными формулами в виде тройного декартова произведения формулы трапеций, также обеспечивающими свойство диагонализации свободных членов. Полученные дискретные задачи на каждом шаге по времени обеспечивают консервативность массы газа и вещества импактного тела, полной энергии и свободны от ограничения Куранта на соотношение шагов по пространству и времени за счет адаптации шаблонов интегрирования вдоль траекторий переноса частиц газа. ?На основе комбинации этих методов разработан численный алгоритм решения сформулированной начально-краевой задачи для модифицированной системы уравнений Навье-Стокса применительно к рассматриваемой проблеме взаимодействия астероидно-кометных тел с атмосферой Земли как обобщение двумерного численного алгоритма. На каждом временно́м слое для решения получающихся дискретных систем нелинейных алгебраических уравнений ввиду их нелинейности используются несколько внешних итераций по геометрическим и алгебраическим нелинейностям. К геометрическим нелинейностям относится выбор траекторий и граничных участков сверхзвукового выноса материала из вычислительной области, а к алгебраическим – зависимость коэффициентов линеаризованной системы алгебраических уравнений от ее решения. Количество этих итераций обычно невелико (3 - 4) ввиду хорошего выбора начальных приближений вдоль траекторий частиц газа. Внутри внешних итераций для решения систем линейных алгебраических уравнений используются простые итерационные методы также с улучшенным начальным приближением. ?Эти алгоритмы реализованы в виде комплексов программ. С помощью такого комплекса для двумерного случая ведутся систематические вычислительные эксперименты по настройке физико-математической модели и улучшению алгоритмов, повышению эффективности расчетов, что немедленно принимается во внимание для конструирования комплекса программ для решения трехмерной задачи. Идет систематическое проведение вычислительных экспериментов с разными данными импактных тел, их углов и скоростей входа для получения некоторых картин их взаимодействия с атмосферой. Написан комплекс программ для трехмерного случая и начато его тестирование.??Пробная реализация алгоритмов на разных вычислительных системах.?Для модельной начально-краевой задачи для трехмерного уравнения переноса реализовано и отлажено несколько алгоритмов полу-лагранжевой аппроксимации с целью изучения эффективности реализации этого подхода на разных вычислительных системах для подготовки реализации численных методов на многопроцессорных вычислительных системах в 2016 году. Выявлены сравнительные достоинства и недостатки реализации предложенных последовательных алгоритмов в технологии CUDA для графических процессоров общего назначения и технологии OpenMP для вычислительной системы с общей памятью и центральными процессорами.??Уточнение физических моделей порождения электрических и магнитных дипольных образований.?На основании известных публикаций количественно уточнены эффекты образования, разделения и захвата ионов при проходе болида в атмосфере. Некоторые события после прохождения Витимского болида 2004 года можно трактовать как проявление такой возможности.?На основании современных публикаций уточнена физическая модель образования магнитных эффектов при входе болида в атмосферу, возникающих на основе явления термонамагниченности. Измерения намагниченности и магнитного момента на территории событий Тунгусского феномена 1908 года можно трактовать как проявление такой возможности.??Математическое и вычислительное моделирование поведения дипольных образований.?Доработан трехмерный по пространству прототип программного комплекса для вычислительного моделирования поведения образований из большого количества молекул или кластеров с электрическим или магнитным дипольным моментом. Моделирование процессов перестроения образований из молекул или кластеров с электрическим дипольным моментом осуществляется методами молекулярной динамики с учетом электрических полей, порождаемых диполями. Диполи или их совокупности заменяются материальными точками с заданными положением, массой, скоростью и фиксированным модулем дипольного момента. Моделирование взаимодействия таких макродиполей между собой и с внешним электрическим полем определяется уравнениями, описывающими напряженность полного векторного электрического поля, порожденного совокупностью макродиполей и внешним полем. Угловое положение каждого макродиполя определяется исходя из условия достижения минимума функции потенциальной энергии взаимодействия этого диполя с полным электрическим полем. Поэтому для математического моделирования самосогласованного электрического поля получается система нелинейных алгебраических уравнений с большим числом неизвестных. В этой связи созданные программы последовательно перекладываются на язык параллельного программирования MPI и подвергаются верификации.??Завершение наполнения базы данных по вопросам абляции вещества, ионизации материала и воздуха, декомпозиции молекул, разделения и рекомбинация ионов.?Создана база полнотекстовых литературных данных по вопросам абляции вещества, ионизации материала и воздуха, декомпозиции молекул, разделения и рекомбинация ионов, для чего использована ранее созданная программная часть, размещенная на специальном шестиядерном сервере с расширяемым рейд-массивом. ?Оцифрованы данные таблиц термодинамических функций воздуха для температур от 200 до 20000 К и давлений от 0.01 до 100 атм из трех изданий упомянутого цикла монографий группы авторов под руководством А.С. Предводителева. Эти оцифрованные данные предоставляют необходимые сведения для расчетов складывающейся температуры при равновесном состоянии воздуха с заданными давлением и внутренней энергией, а также дают процентное содержание ионизированных и декомпозированных молекул в равновесном состоянии воздуха с заданными давлением и удельной внутренней энергией.