Тип публикации: статья из журнала
Год издания: 2022
Идентификатор DOI: 10.31772/2712-8970-2022-23-4-708-720
Ключевые слова: beam, elastic supports, vibrations, stability, first eigenfrequency, first critical force, analytical solution, балка, упругие опоры, колебания, устойчивость, первая собственная частота, первая критическая сила, аналитическое решение
Аннотация: В работе рассматривается проблема обеспечения требуемой первой собственной частоты изгибных колебаний балки при действии продольной силы за счет введения необходимой жесткости опор. Рассматривая и объединяя уравнения свободных колебаний балки и уравнения, описывающие потерю ее устойчивости, было получено условие работоспособности нПоказать полностьюа основе обеспечения минимально заданного значения первой собственной частоты колебаний с учетом действия продольной силы. При этом достижение нулевой частоты собственных колебаний соответствует потере устойчивости, что позволяет решать обе задачи. Данная задача математически сложна и в известной научной литературе ее решение обычно приводится только в графическом или табличном виде. Проблема заключается в нелинейной зависимости коэффициентов опор от жесткости при колебаниях и потере устойчивости. Для решения этой проблемы использовалась аппроксимация нелинейных зависимостей коэффициентов опор методом наименьших квадратов и получения квадратичных аппроксимирующих функций. В результате задача определения требуемой жесткости опор свелась к разрешающему алгебраическому уравнению четвертой степени, для которого существует аналитическое решение. Полученное решение позволяет определить жесткость опор балки, которая обеспечивает требуемое значение первой собственной частоты колебаний балки и ее первой критической нагрузки в виде внешней сжимающей силы или температурных воздействий. Замена нелинейных зависимостей коэффициентов опор от жесткости опор более простыми квадратичными функциями привела к относительно простым аналитическим зависимостям, которые позволяют преобразовывать разрешающее уравнение в соответствии с конкретной решаемой задачей. Вместе с тем, квадратичные функции повлияли на погрешность расчета, для снижения которой было произведено ограничение рассматриваемого диапазона жесткостей опор и разбиение его на три зоны. Проведено сравнение результатов расчетов по предложенному аналитическому решению с численными расчетами методом конечных элементов. Сравнение результатов расчета показало погрешность не более 5 % для рассматриваемого диапазона жесткостей опор, что вполне достаточно для инженерных расчетов балочных конструкций. Для ограничения погрешности результата рекомендуется, чтобы жесткости обоих опор были равны или же одного порядка. The work discusses the problem of providing the required first natural frequency of bending vibrations of the beam under the action of a longitudinal force by introducing the necessary stiffness of the supports. Considering and combining the equations of free vibrations of the beam and the equations describing the loss of its stability, the operability condition was obtained because of providing a minimum given value of the first natural frequency of vibrations considering the action of the axial force. In this case, the achievement of the zero frequency of natural vibration corresponds to the loss of stability, which allows solving both problems. This problem is mathematically complex, and in the known scientific literature its solution is usually given only in graphical or tabular form. The problem lies in the nonlinear dependence of the coefficients of supports on the stiffness during vibrations and loss of stability. To solve this problem, the approximation of the nonlinear coefficients of the supports by the least squares method and the obtaining of quadratic approximating functions was used. As a result, the problem of determining the required stiffness of the supports brought to a fourth-degree resolving algebraic equation, for which an analytic solution exists. The obtained solution allows the stiffness of the beam supports, which provides the required value of the first natural frequency of vibrations of the beam and its first critical load in the form of external compressive force or temperature effects. Replacing the nonlinear dependencies of the support coefficients with the stiffness of the supports with simpler quadratic functions led to relatively simple analytic dependencies that allow the resolution equation to be transformed according to the particular problem being solved. At the same time, quadratic functions influenced the calculation error, to reduce which, the range of the support stiffness under consideration was limited and divided into three zones. The results of calculations using the proposed analytical solution were compared with numerical calculations using finite element method. The comparison of the calculation results showed an error of not more than 5 % for the considered range of stiffness of the supports, which is quite enough for engineering calculations of beam structures. To limit the error of the result, it is recommended that the stiffnesses of both supports be equal or of the same order.
Журнал: Сибирский аэрокосмический журнал
Выпуск журнала: Т.23, №4
Номера страниц: 708-720
ISSN журнала: 27128970
Место издания: Красноярск
Издатель: Сибирский государственный университет науки и технологий им. акад. М.Ф. Решетнева