Тип публикации: статья из журнала
Год издания: 2022
Идентификатор DOI: 10.26516/1997-7670.2022.40.3
Ключевые слова: Multidimensional difference equations, cauchy problem, generating function, Newton polyhedron of the characteristic polynomial, rational cone, многомерные разностные уравнения, задача Коши, производящая функция, многогранник Ньютона характеристческого многочлена, рациональный конус
Аннотация: Производящие функции и разностные уравнения представляют собой мощный аппарат исследования задач перечислительного комбинаторного анализа. В одномерном случае пространство решений разностного уравнения конечномерно. При переходе к многомерной ситуации возникают проблемы, связанные как с возможностью различных вариантов задания допоПоказать полностьюлнительных условий на решение разностного уравнения (задача Коши), так и с описанием соответствующего пространства производящих функций. Для разностных уравнений в рациональных конусах целочисленной решетки известны достаточные условия на многогранник Ньютона характеристического многочлена, обеспечивающие сохранение иерархии Стенли для производящих функций его решений. А именно, производящая функция является рациональной (алгебраической, <i>D</i>-финитной), если таковыми являются производящие функции начальных данных и правой части уравнения.В работе предлагается подход для отыскания производящей функции решения разностного уравнения, основанный на возможности расширения рационального конуса, в котором ищутся решения уравнения до конуса, в котором выполняются достаточные условия сохранения иерархии Стенли. Кроме того, приведена интегральная формула, связывающая производящие функции решения в исходном и расширенном конусах. Generating functions and difference equations are a powerful tool for studying problems of enumerative combinatorial analysis. In the one-dimensional case, the space of solutions of the difference equation is finite-dimensional. In the transition to a multidimensional situation, problems arise related both to the possibility of various options for specifying additional conditions on the solution of a difference equation (the Cauchy problem) and to describing the corresponding space of generating functions.For difference equations in rational cones of an integer lattice, sufficient conditions are known on the Newton polyhedron of the characteristic polynomial that ensure the preservation of the Stanley hierarchy for the generating functions of its solutions. Namely, a generating function is rational (algebraic, <i>D</i>-finite) if such are the generating functions of the initial data and the right side of the equation.In this paper, we propose an approach for finding the generating function of a solution to a difference equation based on the possibility of extending the rational cone in which solutions of the equation are sought to a cone in which sufficient conditions for the conservation of the Stanley hierarchy are satisfied. In addition, an integral formula is given that relates the generating functions of the solution in the original and extended cones. Generating functions and difference equations are a powerful tool for studying problems of enumerative combinatorial analysis. In the one-dimensional case, the space of solutions of the difference equation is finite-dimensional. In the transition to a multidimensional situation, problems arise related both to the possibility of various options for specifying additional conditions on the solution of a difference equation (the Cauchy problem) and to describing the corresponding space of generating functions. For difference equations in rational cones of an integer lattice, sufficient conditions are known on the Newton polyhedron of the characteristic polynomial that ensure the preservation of the Stanley hierarchy for the generating functions of its solutions. Namely, a generating function is rational (algebraic, D-finite) if such are the generating functions of the initial data and the right side of the equation. In this paper, we propose an approach for finding the generating function of a solution to a difference equation based on the possibility of extending the rational cone in which solutions of the equation are sought to a cone in which sufficient conditions for the conservation of the Stanley hierarchy are satisfied. In addition, an integral formula is given that relates the generating functions of the solution in the original and extended cones. © 2022 Irkutsk State University. All rights reserved.
Журнал: Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика
Выпуск журнала: Т. 40
Номера страниц: 3-14
ISSN журнала: 19977670
Место издания: Иркутск
Издатель: Иркутский государственный университет