Тип публикации: статья из журнала
Год издания: 2021
Ключевые слова: linear equations with variable coefficients, general solutions, limiting Levi transformations, линейные уравнения с переменными коэффициентами, общие решения, предельные преобразования Леви
Аннотация: В работе найдены общие решения для некоторых классов линейных волновых уравнений с переменными коэффициентами. Такие уравнения описывают колебания стержней, акустические волны, а также к ним сводятся некоторые модели газовой динамики. Для построения общих решений используются специальные типы преобразований Эйлера-Дарбу - преобразоПоказать полностьювания типа Леви. Эти преобразования представляют собой дифференциальные подстановки первого порядка. Для построения каждого преобразования необходимо решать два линейных обыкновенных дифференциальных уравнения второго порядка. Решения одного из этих уравнений находятся из решений другого с помощью дифференциальной подстановки и формулы Лиувилля. В общем случае решать эти обыкновенные дифференциальные уравнения не просто. Однако можно указать некоторую формулу суперпозиции преобразований типа Леви. Стартуя с классического волнового уравнения с постоянными коэффициентами и используя найденные преобразования, можно строить бесконечные серии уравнений, обладающих явными общими решениями. С помощью метода Матвеева получены предельные формы итерированных преобразований. Приводится ряд конкретных примеров уравнений, обладающих общими решениями. In the work we find general solutions to some classes of linear wave equations with variable coefficients. Such equations describe the oscillations of rods, acoustic waves, and also some models of gas dynamics are reduced to these equations. To construct general solutions, we employ special types of Euler-Darboux transformations, namely, Levi type transformations. These transformations are first order differential substitutions. For constructing each transformation, we need to solve two linear second order ordinary differential equations. The solutions of one of these equations are determined by the solutions of the other equations by means of a differential substitution and Liouville formula. In the general ease, it is not easy to solve these ordinary differential equations. However, it is possible to provide some formula for the superposition of the transformation of Levi type. Starting with a classical wave equation with constant coefficients and employing the found transformations, we can construct infinite series of equations possessing explicit general solutions. By means of Matveev method we obtain limiting forms of iterated transformations. We provide a series of particular examples of the equations possessing general solutions.
Журнал: Уфимский математический журнал
Выпуск журнала: Т. 13, № 2
Номера страниц: 36-43
ISSN журнала: 20741863
Место издания: Уфа
Издатель: Уфимский федеральный исследовательский центр РАН, Башкирский государственный университет, Уфимский государственный авиационный технический университет, Башкирский государственный педагогический университет им. М. Акмуллы