ТЕНЗОРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И ПОРОЖДАЮЩИЕ МНОЖЕСТВА ИНВОЛЮЦИЙ НЕКОТОРЫХ МАТРИЧНЫХ ГРУПП : научное издание

Описание

Тип публикации: статья из журнала

Год издания: 2020

Идентификатор DOI: 10.21538/0134-4889-2020-26-3-133-141

Ключевые слова: специальная линейная группа над областью целостности, тензорные представления, порождающие множества инволюций, special linear group over the integral domain, Tensor representations, generating sets of involutions

Аннотация: Хорошо известно, что все неприводимые представления групп Шевалле над бесконечными полями и модулярные представления в хороших характеристиках полей определения исчерпываются подпредставлениями тензорных произведений их естественных представлений. В статье рассматриваются такие конкретные два подпредставления и на их основе получаюПоказать полностьются ответы на два вопроса о числе порождающих инволюций некоторых матричных групп. Для области целостности $D$ характеристики отличной от 2 установлена неприводимость симметрического и внешнего квадратов естественного представления группы $SL_n(D)$ и вычислены их ядра (теорема 1). Обозначим через $n(G)$ (соответственно через $n_c(G)$) минимальное число порождающих (соответственно еще и сопряженных) инволюций группы $G$, произведение которых равно 1. Задачи о нахождении чисел $n(G)$ и $n_c(G)$ для конечных простых групп записаны автором в Коуровской тетради (вопрос 14.69). Исходя из теоремы 1 и неравенства Л.Л. Скотта доказан следующий результат. Пусть $G$ есть $SL_3(D)$ или $SL_6(D)$, где $D$ - область целостности характеристики отличной от 2. Тогда $n(G)>5$, и в частности $G$ не порождается тремя инволюциями, две из которых перестановочны, а если $D$ является кольцом целых чисел или конечным полем (нечетного порядка), то $n(G)=n_c(G)=6$ (теорема 2). It is well known that all irreducible representations of Chevalley groups over infinite fields and modular representations in nice characteristics of fields of definition are exhausted by subrepresentations of tensor products of their natural representations. We consider two specific subrepresentations of this kind and use them to answer two questions on the number of generating involutions of some matrix groups. For an integral domain $D$ of characteristic different from 2, we establish the irreducibility of the symmetric and external squares of the natural representation of the group $SL_n(D)$ and find their kernels (Theorem 1). Denote by $n(G)$ (by $n_c(G)$) the minimum number of generating (and also conjugate, respectively) involutions of $G$ whose product is 1. Problems on finding the numbers $n(G)$ and $n_c(G)$ for finite simple groups are written by the author in the <i>Kourovka Notebook</i> (Question 14.69). Based on Theorem 1 and L.L. Scott's inequality, we prove the following result. Let $G$ be $SL_3(D)$ or $SL_6(D)$, where $D$ is an integral domain of characteristic different from 2. Then $n(G)>5$ and, in particular, $G$ is not generated by three involutions two of which commute; moreover, if $D$ is the ring of integers or a finite field (of odd order), then $n(G)=n_c(G)=6$ (Theorem 2).

Ссылки на полный текст

Издание

Журнал: Труды института математики и механики УрО РАН

Выпуск журнала: Т.26, 3

Номера страниц: 133-141

ISSN журнала: 01344889

Место издания: Екатеринбург

Издатель: Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН

Авторы