Перевод названия: METHOD OF MULTIGRID FINITE ELEMENTS TO SOLVE PHYSICAL BOUNDARY VALUE PROBLEMS
Тип публикации: статья из журнала
Год издания: 2017
Ключевые слова: физические краевые задачи, многосеточные конечные элементы, композитные пластины, балки и цилиндрические оболочки различной формы, physical boundary value problems, homogeneous and inhomogeneous bodies, multigrid finite elements, Composite plates, beams and shells
Аннотация: Для решения ряда важных физических краевых задач предложен метод многосеточных конечных элементов (ММКЭ), который реализуется на основе алгоритмов метода конечных элементов (МКЭ) в форме метода Ритца с применением многосеточных конечных элементов (МнКЭ). Предлагаемые МнКЭ проектируются на основе мелких базовых разбиений тел, которыПоказать полностьюе учитывают физические особенности краевых задач. Отличие МнКЭ от существующих конечных элементов (КЭ) состоит в следующем. При построении n-сеточного КЭ используются вложенных сеток, (в МКЭ используются только односеточные КЭ). Мелкая сетка МнКЭ порождена базовым разбиением, остальные сетки применяются для понижения размерности МнКЭ, причем, с увеличением размерность МнКЭ уменьшается. Особенность и достоинство МнКЭ состоят в том, что при построении МнКЭ, не увеличивая их размерностей, можно использовать сколь угодно мелкие базовые разбиения тел, состоящие из односеточных КЭ 1-го порядка. Такие разбиения позволяют сколь угодно точно учитывать граничные условия и сложную форму тел, неоднородную и микронеоднородную структуру упругих МнКЭ, сложный характер их нагружения. Краткая суть МнКЭ состоит в следующем. На базовом разбиении (на мелкой сетке) n-сеточного КЭ, определяем функционал, отвечающий данной краевой задаче, как функцию многих переменных, которыми являются значения искомой функции, определяемые в узлах мелкой сетки. На остальных сетках строим по МКЭ аппроксимирующие функции, которые используем для понижения размерности функции, что позволяет проектировать МнКЭ малой размерности. В ММКЭ используются однородные и неоднородные МнКЭ и системы вложенных сеток, что расширяет область его применения. В МКЭ применяются однородные односеточные КЭ. Всегда вместо МКЭ можно применять ММКЭ, так как вместо односеточных КЭ всегда можно использовать МнКЭ. Поскольку при построении n-сеточного КЭ используется не одна сетка, а n вложенных сеток, то ММКЭ можно считать обобщением МКЭ, т. е. МКЭ отражает частный случай ММКЭ. Предложен метод образующих КЭ для построения трехмерных композитных МнКЭ (оболочечного типа) сложной формы и больших размеров, которые используются для решения ряда физических краевых задач. В частности, для расчета трехмерного напряженного состояния в композитных (однородных, гофрированных) пластинах, оболочках вращения и в цилиндрических оболочках различной формы. Основные достоинства МнКЭ состоят в том, что они сколь угодно точно учитывают сложную форму, сложные граничные условия тел, неоднородную (микронеоднородную) структуру упругих тел (без увеличения размерностей МнКЭ), порождают дискретные модели малой размерности и приближенные решения c малой погрешностью. To solve a number of important physical boundary value problems, a multigrid finite element method was proposed to be implemented on the basis of Finite Element Method (FEM) algorithms in the form of the Rietz method, using multigrid finite elements (MFE). There is the following difference between the MFE and the currently available finite elements (FE). When constructing a n-grid FE, n of nested grids are used. A fine grid is generated by a basic partition that takes into account the physical body features of the boundary value problem (for example, inhomogeneous body structure) and the irregular shape of the MFE. The other grids were used to reduce the MFE dimension, with increasing, the n dimensionality (i. e. the number of nodal unknowns of the required function) of the MFE decreasing. The peculiarity and advantage of the MFE lies in the fact that when constructing the MFE (without increasing its dimension) one can use some arbitrarily small basic partitions consisting of standard first order single-grid FEs. Such small partitions allow one to take into account (within the framework of the micro-approach) the inhomogeneous and micro inhomogeneous structure body and the unique nature of the boundary conditions. The brief essence of the MFE is as follows. On the basic partition (on a fine grid) of a n-grid FE, the functional corresponding to a given boundary-value problem as a function of many variables, which are the values of the desired function obtained at the nodes of the fine grid, was determined. On the remaining grids, the approximating functions used to reduce the dimension of the function, allowing one to design a small-dimensional MFE, were developed by the FEM. Advantages of MFE are that the irregular shape and special boundary conditions, the inhomogeneous structure of bodies were taken into account, the discrete models of small dimension and the small error approximate solutions generated. Constructing the MFE of a rectangular parallelepiped and irregular shape were presented.
Журнал: Информационные технологии и математическое моделирование в экономике, технике, экологии, образовании, педагогике и торговле
Выпуск журнала: № 10
Номера страниц: 27-60
Место издания: Красноярск
Издатель: Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М.Ф. Решетнева