Перевод названия: Determining equations and differential constraints. Applications to equations of mathematical physics.
Тип публикации: отчёт о НИР
Год издания: 1998
Аннотация: Предложен новый метод построения дифференциальных связей, совместных с заданными уравнениями с частными производными. Он основан на обобщении определяющих уравнений для инфинитезимальных операторов групп Ли, допускаемых дифференциальными уравнениями. Новые определяющие уравнения представляют собой переопределенную систему линейных Показать полностьюуравнений с частными производными на дифференциальные связи. Разработанные схемы решения определяющих уравнений, реализованы в виде соответствующих программ. В качестве приложений данного метода рассмотрены некоторые классические модели гидродинамики, физики плазмы и уравнения диффузионного типа. Применение дифференциальных связей позволило обнаружить новые классы точных решений уравнений Эйлера, описывающие стационарные осесимметричные течения с закруткой. Среди них выделены решения, отвечающие течениям идеальной жидкости со свободной поверхностью. Найдены новые типы плоских стационарных вихревых образований в идеальной жидкости. Доказана устойчивость по Ляпунову некоторых решений. Получены решения уравнения Буссинеска, выражающиеся через элементарные функции и описывающие волновые пакеты, их взаимодействие между собой и с солитонами. Для уравнения Буллафа-Додда-Жибера-Шабата построено преобразование Дарбу, доказана его коммутативность, найдено трилинейное представление и N-солитонные решения. Проведен групповой анализ уравнений движения неоднородной жидкости в поле силы тяжести. Для случаев плоского и вращательно-симметричного движений жидкости найдены оптимальные системы подалгебр размерности один и два. Построены точные решения, описывающие движения жидкости со свободными границами и внутренние волны. New method for construction of differential constraints which is compatible with input partial differential equations is proposed. This method is based mainly upon the generalization of defining equations on infinitesimal generators of Lie groups. In fact new determining equations are an overdetermined system of linear partial differential equations. Developed schemes of solutions of determining equations were realized as the correspondent programs. As relevant applications of the method, some classical models of hydrodynamics, plasma physics and equations of diffusion types are considered. By using differential constraints, it has been found new classes of solutions of Euler equations describing steady axisymmetric inviscid flows. These classes include solutions corresponding to ideal flows with free boundary. New classes of plane stationary structures in ideal fluid were found. The stability of some solutions was proved. We derived solutions of the Boussinesq equation. These solutions describe wave train, interaction between wave envelopes and solitons. We constructed the Darboux transformation for the Bullough-Dodd-Zhiber-Shabat equation and proved commutativity of this transformation. It has been found trilinear representation and N-soliton solutions. Group analysis of equations of inhomogeneous inviscid fluid is fulfilled. It has been found optimal systems of one- and two-dimensional subalgebras of Lie's algebra of the equations in the presence of planar and rotational symmetry.