Перевод названия: The Euler - Maclaurin Formula for Rational Parallelotope
Тип публикации: статья из журнала
Год издания: 2015
Ключевые слова: суммиро- вание функций, summation of func- tions, unimodular rational cone, rational parallelotope, Multidimensional difference equations, differential operators of infinite order, унимодулярный конус, рациональный параллелотоп, многомерные разностные уравнения, дифференциальные операторы бесконечного порядка
Аннотация: Суммирование функций дискретного аргумента относится к числу классических задач исчисления конечных разностей, например, сумму степеней последовательных натуральных чисел вычислил еще Я. Бернулли (1713), и его исследования дали толчок к возникновению целого ряда разделов комбинаторного анализа. Эйлер (1733) и независимо от него МакПоказать полностьюлорен (1738) нашли формулу, в которой искомая сумма выражается через производные и интеграл от заданной функции. Ее строгое доказательство дал Якоби (1834).Функцию нескольких дискретных аргументов представляется естественным суммировать по целым точкам рациональных многогранников. Известны аналоги формулы Эйлера - Маклорена в задаче суммирования многочлена по произвольному рациональному многограннику и в задаче суммирования функции экспоненциального типа по целым точкам рационального симплекса.В данной статье получен многомерный аналог формулы Эйлера - Маклорена для задачи суммирования целых функций экспоненциального типа по целым точкам рациональных параллелотопов, построенных на образующих унимодулярного рационального конуса. Требование на унимодулярность конуса является существенным, так как при выбранном методе доказательства позволяет сделать замену переменных при переходе от параллелотопа к параллелепипеду. При этом реализован подход Эйлера, основанный на понятии дискретной первообразной функции. А именно, используя методы теории многомерных разностных уравнений, вводится понятие обобщенной дискретной первообразной, а методы теории дифференциальных операторов бесконечного порядка позволяют построить необходимый для многомерного аналога формулы Эйлера - Маклорена оператор и обосновать сходимость функционального ряда, который участвует в этой формуле. The problem of summation of functions of a discrete argument is one of the classical problems of the calculus of ?nite di?erences, for example, the sum of the sequence of power of natural numbers was computed by Bernoulli (1713), and his studies led to the development of several branches of combinatorial analysis. Euler (1733) and independently Maclaurin (1738) found a formula in which the required sum is expressed through derivatives and the integral of the given function. Its ?rst rigorous proof was given by Jacobi (1834).A natural summation of functions of several discrete arguments is over integer points of rational polytopes. The analogues of the Euler - Maclaurin formula for summation of polynomials over an arbitrary rational polytope and for summation of function of exponential type over integer points of simplex are known.In this article we obtain a multidimensional analogue of the Euler-Maclaurin formula for summation of entire functions of exponential type over integer points of rational parallelotops built on generators of a unimodular rational cone. Unimodularity of the cone is essential since in the chosen method of proof it allows us to change variables and replace the parallelotope by the parallelepiped. Also, we implement Euler’s approach based on the concept of discrete primitive functions. Namely, using the methods of the theory of multidimensional di?erence equations, the concept of a generalized discrete primitive is introduced, and the methods of the theory of di?erential operators of in?nite order allow to justify the convergence of series of functions that appear in the Euler - Maclaurin formula.
Журнал: Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика
Выпуск журнала: Т. 13
Номера страниц: 56-71
ISSN журнала: 19977670
Место издания: Иркутск
Издатель: федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Иркутский государственный университет"