Перевод названия: Nonstandard logical systems and inference rules.
Тип публикации: отчёт о НИР
Год издания: 1998
Аннотация: Согласно основной направленности и плану проекта исследовались дедуктивные системы нестандартного логического вывода и семантический аппарат нестандартных логик. Основное внимание было уделено допустимым правилам вывода и развитию семантического аппарата на основе алгебраических и теоретико-модельных методов. Центральным объектом иПоказать полностьюсследований были правила вывода логических систем. Сравнительная классификация правил, состоящая в разделении их на допустимые, истинные и производные, являлась отправным пунктом исследований. Изучались проблемы существования алгоритмов, распознающих допустимость правил вывода, проблемы существования конечных и независимых базисов для допустимых правил вывода, правила вывода с метапеременными и логические уравнения, проблемы структурной полноты логик. В частности, найдено точное описание всех теорий первого порядка с равенством, которые имеют разрешимые логики схем (полимодальные логики, родственные системе $S5$ Льюиса), и тех теорий которые разрешимы по допустимости. Даны необходимые и достаточные условия для того, чтобы расширение $\lambda$, логики $S4$ наследовало все допустимые правила логики $S4$. На основе полученного критерия дана классификация табличных модальных логик наследующих допустимость $S4$-допустимых правил вывода. Найден первый пример табличной модальной логики не имеющей конечных и даже независимых базисов для допустимых правил вывода. Показано, что все предтабличные модальные логики и все предтабличные суперинтуиционистские логики обладают независимым базисом допустимых правил вывода. Получены частичные результаты для логик ширины 2. Кроме того, показано, что все модальные логики глубины 2 имеют конечные базисы для допустимых правил вывода. Описан базис для допустимых в интуиционистской пропозициональной логике IPC правил вывода. Задан базис, состоящий из правил в полу-редуцированной форме, удовлетворяющих некоторым условиям. Представленная техника позволила описать базис для допустимых правил вывода в логике KC слабого исключенного третьего. Рассматривались правила вывода с метапеременными для всех предтабличных модальных логик (над $S4$), как для случая локально конечных логик, так и для единственного не локально конечного случая - логики $PM1$. Построены алгоритмы определения допустимости правила вывода с метапеременными для указанных логик. Рассмотрены уравнения в свободных топобулевых алгебрах. Доказано, что для любой табличной и предтабличной логики квазиэквациональная теория её свободной алгебры в сигнатуре, расширенной константами, разрешима. Изучались квази-характеристические правила вывода, введённые А.И.Циткиным (1977). Основной результат состоит в полном описании всех квази-характеристических правил, которые являются самодопустимыми. Оказывается, что такое правило самодопустимо тогда и только тогда, когда шкала алгебры, порождающей данное правило не является жёсткой. Также показано, что такие правила всегда самодопустимы в логиках $S4$ и $IPC$ в соответствии с типом алгебры, порождающей данное правило. Показано, что жёсткие фреймы глубины 2 имеют ширину не более 2. Описаны все жёсткие фреймы глубины 2, что дало возможность охарактеризовать самодопустимые квази-характеристические правила алгебр глубины 2. Построены примеры жёстких фреймов глубины 3, показывающие, что ширина жёстких фреймов глубины 3 может быть сколь угодно большой. Найден базис для квази-характеристических правил вывода допустимых в модальной системе $S4$. Исследованы полимодальные логики модальной системы $S5_n C$ - полимодального аналога системы $S5$ c $n$ коммутирующими модальностями. Доказано, что система $S5_n C$ является разрешимой по допустимости правил вывода. Любая $S5_2C$-логика имеет конечные базисы для допустимых правил вывода и является разрешимой по допустимости. Рассмотрены серии бимодальных логик $S5_2C+\omega_n