ON NECESSARY AND SUFFICIENT CONDITIONS OF SIMPLY REDUCIBILITY OF WREATH PRODUCT OF FINITE GROUPS : научное издание

Описание

Перевод названия: О НЕОБХОДИМЫХ И ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЯХ ПРОСТО ПРИВОДИМОСТИ СПЛЕТЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ГРУПП

Тип публикации: статья из журнала

Год издания: 2018

Идентификатор DOI: 10.31772/2587-6066-2018-19-2-212-216

Ключевые слова: просто приводимая группа, вещественная группа, сплетение, simply reducible group, real group, Wreath product

Аннотация: A finite group is considered to be real if all the values of its complex irreducible characters lie in the field of real numbers. We note that the above reality condition is equivalent to the fact that each element of the group is conjugate to its inverse. A finite group is called simply reducible or a SR-group if it is real and alПоказать полностьюl the coefficients of the decomposition of the tensor product of any two of its irreducible characters are zero or one. The notion of a SR-group arose in the paper of R. Wiener in connection with the solution of eigenvalue problems in quantum theory. At present, there is a sufficient amount of literature on the theory of SR-groups and their applications in physics. The simplest examples of SR-groups are elementary Abelian 2-groups, dihedral groups, and generalized quaternion groups. From the point of view of a group theory questions of interest are connected first of all with the structure of simply reducible groups. For example A. I. Kostrikin formulated the following question: how to express the belonging of a finite group to the class of SR-groups in terms of the structural properties of the group itself. Also, for a long time it was not known whether a simply reducible group is solvable (S. P. Stunkov’s question). A positive answer to the last question was obtained in the works of L. S. Kazarin, V. V. Yanishevskiy, and E. I. Chankov. Questions concerning the portability of the properties of a group to subgroups, factor groups, and also their preservation in the transition to direct (Cartesian) and semidirect products or wreath products are always of interest. The paper proves that the reality of H is the necessary condition of simply reducibility of the wreath product of the finite group H with the finite group K and the group K must be an elementary Abelian 2-group. We also indicate sufficient conditions for simply reducibility of a wreath product of a simply reducible group with a cyclic group of order Конечную группу назовем вещественной, если все значения её комплексных неприводимых характеров ле- жат в поле вещественных чисел. Отметим, что сформулированное выше условие вещественности равносиль- но тому, что каждый элемент группы сопряжен со своим обратным. Конечная группа называется просто приводимой, или SR-группой, если она вещественна и все коэффициенты разложения тензорного произведения любых двух её неприводимых характеров равны нулю или единице. Понятие SR-группы возникло в работе Р. Винера в связи с решением задач на собственные значения в кван- товой теории. В настоящее время имеется достаточно литературы по теории SR-групп и их приложениям в физике. Простейшие примеры SR-групп дают элементарные абелевы 2-группы, диэдральные группы и обоб- щенные группы кватернионов. С точки зрения теории групп прежде всего представляют интерес вопросы, связанные со строением про- сто приводимых групп. Например, А. И. Кострикин отмечает следующий вопрос: как выразить принадлеж- ность конечной группы к классу SR-групп в терминах структурных свойств самой группы. Также продолжи- тельное время не было известно, является ли просто приводимая группа разрешимой (вопрос С. П. Струнко- ва). Положительный ответ на последний вопрос был получен в работах Л. С. Казарина, В. В. Янишевского и Е. И. Чанкова. Вопросы, касающиеся переносимости свойств группы на подгруппы, фактор-группы, а также сохранения их при переходе к прямым (декартовым) и полупрямым произведениям или сплетениям, всегда вы- зывают интерес. Доказано, что необходимым условием просто приводимости сплетения конечной группы H с конечной группой K является вещественность H, а группа K должна быть элементарной абелевой 2-группой. Также указаны достаточные условия просто приводимости сплетения просто приводимой группы с циклической группой порядка 2.

Ссылки на полный текст

Издание

Журнал: Сибирский журнал науки и технологий

Выпуск журнала: Т. 19, 2

Номера страниц: 212-216

ISSN журнала: 25876066

Место издания: Красноярск

Издатель: Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М.Ф. Решетнева

Авторы

  • Kolesnikov S.G. (Reshetnev Siberian State University of Science and Technology)

Вхождение в базы данных